函数的本质是什么?_一元一次函数解析式

由网友 我是勤奋的小蚂蚁 提供的答案：

函数是一个数学概念,是将一个变量的值映射到单个输出值的规则。也就是说,它是一种用来描述两种数之间的映射关系的数学对象。函数可以描述从一个或多个输入值到一个输出值的转换过程。在实际生活、科学和经济中都有着广泛的应用,如物理学、经济学、计算机科学等领域,以及很多日常生活中的问题都可以用函数来描述和解决。

函数的本质是描述输入值与输出值之间的映射关系,它提供了一种数学工具,可以帮助我们研究各种各样的问题,并从中得出结论和解决办法。函数是数学中的基本概念之一,也是许多其他领域中的基本概念和工具。

函数在数学上具有重要的作用,它们是许多数学分支的基础,也是科学、工程学等领域的基础。以下是函数的一些重要作用：

1. 描述现象和规律：函数可以描述各种现象和规律,如物理学、化学、生物学、经济学和社会学等领域的规律。

2. 解决问题：函数可以帮助人们发现问题的本质,从而解决各种问题,如优化问题、最小值和最大值问题等。

3. 分析和研究：函数可以帮助人们对各种问题进行分析和研究,如自然现象的模拟、经济学模型、信号处理等。

4. 工程程序设计：函数是许多计算机程序和算法的基础,如图像处理、图形学、物理引擎、机器学习等。

5. 教学和学习：函数是数学课程中的基本概念之一,也是现代教学中常用的教育工具,使学生更好地理解各种数学概念和现象。

总之,函数是一种非常基础和重要的数学概念,对于许多学科都具有很重要的应用价值,是研究自然和社会现象的基础之一。

由网友 数学你新哥 提供的答案：

为了解释函数的本质是什么？有必要知道函数的发展史,通过了解函数的发展历程,我们可以从表面本质彻底的认识函数！

第一个历程,几何观念下的函数

1.伽利略是最早透露出函数概念的,只不过当时用的不是函数这个名词,他指出：用文字和比例的语言表达两个量的关系。仅此而已。

2.随后解析几何出现,直角坐标系的发明者笛卡尔在解析几何中注意到："两个变量之间的关系也一个变量,总是依靠另一个变量而存在"。很遗憾的是,当时大部分函数都被当做曲线来研究,并没有意识到需要提炼出函数这一概念！

3.时间到了1673年,莱布尼茨首次使用"function"表示"幂",后来陆续用function表示曲线上点的坐标或者与曲线有关的量,这个时候"function"的词义应该不被翻译成函数,应该翻译成"功能"（个人观点）,但是无论如何,1673年是数学历史上第一次见到"function"一词,是历史性的突破！直到现在,依然都是使用它！

第二个历程,代数观念下的函数

1.1718年,伯努力在莱布尼茨的基础上,对函数再次进行了定义："强调函数需要用公式来表示",到这儿可以看出比较接近我们现代函数了。

2.1756年,伟大数学家欧拉给出定义,一个变量的函数是由这个变量和一些数（即常数）,以任何方式组成的解析表达式。可以看出这个概念中解析式对于函数的重要意义被体现出来,比伯努利的定义更普遍,更具有广泛意义。

第三个历程,对应关系下的函数

不要着急,很接近本质了！

1.1821年,柯西指出一个函数需要有两个变量,一个是自变量,一个是因变量。此时此刻,函数模型非常类似我们初中学的函数概念！

对于柯西这个大佬不用过多介绍,高中生只是知道一个"柯西不等式",高考还不一定用的上,但是到了大学,柯西才正式登上舞台,会被虐的体无完肤！你有类似的经历么？反正我当年对他是又爱又恨！

2.1837年,狄利克雷（Dirichlet）指出：对于在某区间上的每一个确定的x值,y都有一个确定的值,那么y叫做x的函数,自此诞生了函数的经典定义。

3.康托尔建立了集合论,美国数学家维布伦用集合和对应的概念给出了近代函数的概念,同时,打破了变量是数的局限性,变量可以是数,也可以是其他对象。

第四个历程,集合论下的函数

1930年,新的代现代函数定义为：

若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f（x）。元素x称为自变量,y称为因变量。

现代函数的本质,重点强调"映射""法则""对应""变换"。哪个词都可以,有了这个概念,不仅可以做简单的函数对应,也可以做复合函数的对应。

简单函数：x对应y

复合函数：x对应y,y对应z,如下图,就构成了复合函数！

中文的"函数"

函数这个词本身是舶来品,"function"这个词在英文中就是功能的意思,那么是谁把它翻译成函数的呢？

答案是清代的数学家李善兰。是他首次将"function"译为"函数"

看完了函数的发展历程,可以看出函数的发展是不断得到严谨化,精确化的过程,逐渐地通过表面现象抽离出函数的本质,这与我们学习函数的过程是一样的！从初中那种单纯的自变量,因变量的关系,到高中在对应法则下,用映射定义出的函数！在到大学多元,多对应的复变函数等等！

以上是我的回答,欢迎大家讨论,发表自己观点。

由网友 语境思维 提供的答案：

先给答案：函数的本质,是揭示事物的对立统一规律。没有哪个规律可以跳出对立统一法则,也没有哪个规律不可以函数表述。

数学是物理的武器；函数是数学的灵魂。有了函数,就有了科学与技术的辉煌成就。函数表达力是科研人的生命力,函数表达式是科学与技术的第一标签。以下分享函数的解读。

函数的基本意思

函数,有两个语境,其一泛指函数思维(方法论),其二特指应[因]变量(dependent)。

函数的英文function,本意是"功能"。似乎看不出功能与函数有什么联系。这里的逻辑链是酱紫的：

功能→效能→效应→对应→呼应→反映→映射→函数,即自变量与因变量的一一对应关系,这是函数方法的基本含义,即函数的外延。

在反映变量之间的对应关系时,有一个极为重要的核心概念——系数(或当量)。

什么叫系数？系数的英文是coefficience。字面意思是"协同效应值"或"协变常数"。

系数反映变量之间关系所适用的特定条件或其它相对稳定的参量。换言之,变量之间的关系,取决于特定条件。

例1. 波速=波长×波频,即：c=λf,或λ=c/f,函数意思是：波长与波频成反比。

系数c叫速度常数,取决于不同的介质。在真空介质中,有光速：c=299794285米/秒。在空气介质中,有音速：c=(341+0.6T)米/秒。

例2. 质子的惯性势能与真空场(引力波)频率成正比,即：Ep(=mc²)=hf。

这有点泛函(函数套函数)味道：惯性势能与粒子质量成正比,与粒子质量场的频率成正比。

这里有两个系数：c²与h。c²强调粒子必须以光速自旋,普朗克常数h强调唯有亚原子才适合这个公式。

函数的表达方式

函数的标记是f(),有时干脆简化为f。也可用其它字母表示,如：波函数ψ(x,t)或ψ。

f(x)叫一元或一维函数,f(x,y)叫二元或二维函数,f(r,θ)=re^iθ叫复变函数。f(g())叫复合函数或泛函=函数的函数(functional(function))。M(z)叫莫比乌斯函数。f(x)=limsinx/x叫极限函数,f(sinx,cosx)叫傅里叶函数,f(dx)叫微分函数,f(a,b)=ʃf(x)dx,叫定积分函数。

对现象或效应的变量关系,用物理逻辑解释清楚,设定变量符号与量纲,指出引用函数的出处,通过严密的数学推导,最终给出函数关系式,这是科研人起码的基本功。

函数关系表达式,简称函数式,也叫解析式、公式、方程。英文equation本意是对等方式。理解函数式的物理意义有时是很难的。

例3. 薛定谔方程或函数：i(h/2π)dψ/dt=Hψ,意义：①i=-1½单位1虚数化即逆时针旋转½π,②h/2π是半径化普朗克常数,③量子波函数ψ(x,y,z,t),④H=H(ijk)=ix‘+jy‘+kz‘是三维基矢(i,j,k)的1阶偏导数的矢量和。

函数反映的是对立统一法则

函数是一种关系。关系是复杂的。历时性关系,叫纵向关系。共时性关系,叫横向关系。

函数关系的异名同义说法有：逻辑关系、因果关系、对应关系、量化关系、定量关系、当量关系、量纲关系、映射关系、投影关系、迭代关系(递推)、拓扑关系、辩证关系或对立统一关系或超对称关系(supersymmetry)。

迭代函数(iteration)是尤其用于在分形学和动力学中深入研究的软件系统工具,是重复的与自身复合的周期函数,本质上依然是对立统一法则。

例4. 全面质量管理理论的PDCA循环单元,是一个从设计(plan)到行动(do)到控制(control)到实现(action)的抽象过程。设计与实现是对立统一的节点(P*A)：PDCA→PDCA→PDCA......

例5. Fibonacci Sequence斐波那契数列是数0、1、1、2、3、5、8、13...可做迭代函数化的操作,定义为： f(0)=0,f(1)=1; f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥2,n∈N)。

拓扑关系是基于连通性的抽象性的投影关系,是把"万变不离其宗"解读为函数关系,尤其是把高维关系投影为低维关系,高维与低维也可以理解为一种对立统一关系。

▲就拓扑关系而言,魔鬼与神仙与各色人等,没什么两样。SO EVERYBODY IS AN ACTOR ON THE WORLD.

例6.我们看到的太阳,总是三维的太阳发射的光在肉眼中的二维投影,感觉的"圆盘"与真实的"圆球"是一种超对称的投影关系。

例7. 把三维的电子云分布,拓扑(投影)为二维的电子云分布,进而大大简化复杂性。

超对称关系,当然包括迭代关系与拓扑关系,也是把"对立统一规律"解读为函数关系。

对立统一规律泛指：互为因果、相辅相成、相互制衡。超对称思维是物理逻辑的最高境界。

例8. 万有引力F(m,R)=Gm₁m₂/R²中,分子(m₁m₂)与分母(R²)是质量乘积效应与真空场的超对称。G是超对称系数。

例9. 在库仑定律F(q,R)=kq₁q₂/R中,分子(q₁q₂)与分母(R²)是电荷效应与真空场效应之间的超对称。k是超对称系数。

例10. 在热力学第一定律Ek(=½mv²)=1.5kT中,左边动能½mv²与右边温度(T)是超对称,k是玻尔兹曼常数或超对称系数。

例11. 复函数z(r,θ)=re^iθ,同样蕴含了超对称关系。在用复平面z(r,θ)描述欧氏二维空间某个元素时,复函数的模变量r的几何意义是该元素的径向伸缩(简称伸),复函数的角变量θ的几何意义是该元素的切向扭转(简称扭)。

复函数的伸与扭是一种超对称关系。这不禁使我们联想到,电子自旋(扭)由于轴向转动惯量不均衡必然导致轴倾斜而发生进动(伸)；

与此同时,电子的切向运动反映电子惯性离心力(伸)与电子的绕核运动(扭),是一种相互制衡的超对称关系,蕴含的是对立统一法则。

▲如果这是一个星系空间元素分布的全局性景观,那么我们可以写出一个简明扼要的函数。

结语

人类认识事物的结构分布与运动变化,归根结底,是在寻找一种关系。对关系量化处理的形式就是函数。

在数学家眼里,函数是自变与应变之间的一一对应的关系；在物理学家眼里,函数是描述效应的方程；在哲学家眼里,函数折射的是超对称关系或对立统一法则。

由网友 艾牛科普君 提供的答案：

函数一词最早出现于清朝数学家李善兰的译作《代数学》一书中。从字面意思来看,函数就是一个数中包含着另一个数。

（李善兰出生于1811年,是中国近代数学先驱）

初中阶段,我们就开始接触函数这个概念了,教科书上是这样说的：在某一变化过程中,存在两个变量,如果其中一个量y总存在唯一对应的值随着x值的改变而改变,那么y就被称之为x的函数。其中x被称之为自变量,另一个量y则被称之为因变量。

高中阶段,函数的概念又更加深刻了,出现了集合和映射的概念,将只能是数的变量拓展到了包含任意元素的集合。高中函数的定义是这样的：假设AB两个集合是非空集,按照某种对应关系（又称之为映射）f,对于集合A中的任意元素a,集合B中总是存在唯一对应的元素b,那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数。在这里,变量的取值范围分别称之为定义域和值域。

其实,函数就是描述变量的一种手段。这个世界因为存在因果律,才使得我们可以用函数这种概念去描述变量之间的关系。不管是连续的量还是离散的量,只要是变量都可以用函数来描述。比如随机变量就存在分布函数。正因为如此,函数在生活中才变得如此的重要。

函数不一定存在数学解析式,函数的图像也并不一定能够完整的画出来,但变量与变量之间的关系却是真实存在的。在变化的世界中寻找规律是一件很困难的事,但科学技术的发展都离不开它。

我们在中学阶段学习的都是初等函数,初等函数是由五大基本初等函数和常数在有限次的有理运算和复合操作后演绎而成的,它们是：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。有时还会引入常数函数这个概念。除了初等函数,还有非初等函数,比如狄利克雷函数和黎曼函数等。

如果按照取值范围,又可以分为实变函数与复变函数。如果函数中只含有一个自变量,就称之为一元函数；有两个及以上自变量的,就称之为多元函数。关于函数的性质就更多了,主要有奇偶性、单调性、周期性、连续性、凹凸性、有界性等。

总结起来,函数就是集合与集合之间一种确定的对应关系。

热爱科学的朋友,欢迎关注我。

由网友 数学灭火逻辑 提供的答案：

大家好,我是一名数学老师,函数大多数学生,都只是知道甚至会背定义但是大多数人并不知道函数的本质。特别是在高中阶段,一进入函数部分的学习会有一大批学生掉队。下面我们来理解下函数的本质到底是什么。

其实,见到函数的定义,大多人都会蒙圈,这是什么鬼？我们首先来看下高中函数的定义

其实函数并没有大家想象的那么复杂,我们换个角度来思考,首先我们理解下什么是关系

这种关系特殊在哪里了？

我们自己判断下下面哪个是任意对唯一的关系

回头我们再仔细读一遍定义便会恍然大悟,函数就是数与数之间的一种任意对唯一的对应关系,这就是函数的本质

下面可以自己判断下这道题

看完之后大家是否能够准确理解什么函数呢？自己如果有看不懂的地方可以关注Html369号数学灭火逻辑,有视频讲解帮你清晰理解函数的本质。

欢迎大家留言发表你的看法。

由网友 九合壹匡 提供的答案：

数学是物理的武器；函数是数学的灵魂,那么,函数的本质是什么？这个问题如果用数学和函数本身能解释,题主就不会问这个问题了,因为,函数的定义,函数的历程题主也看过,了解过,还是得不到答案,所以,才有这一问。

我认为函数的本质应当是逻辑命题,为什么呢?

什么是逻辑命题？

1,在理解逻辑命题之前,又先理解什么是逻辑

逻辑就是提出主张,阐述论据,然后归结出结论,主张也就是你认为它是什么,为了增加你认为它是什么,还必须提出论述。只有主张没有论述,会让人觉得莫名其妙。

我们举个例子

你指着一个人,说他是张三,很多人会觉得莫名其妙。然后,你补充证据论述,哪一年你跟他是同学,是你们隔壁村的,叫他过来出示一下身份证,可以证明这个人就是张三。于是,其他人不再觉得莫名其妙。认同你的主张,这个人就是张三。

2,现在,再来看看什么是逻辑命题

逻辑命题就是能够判断真假的陈述语句,分为真命题与假命题。也就是连接结论与主张+论据的桥梁,

例1

你面前放着的东西有鼠标,显示屏,有健盘,有电源线 【观点】

通常电脑都有鼠标,显示屏,有健盘,有电源线 【命题】

你面前有一台电脑 【结论】

例2

对面那个人姓张,跟你有血缘关系 他是你长辈【主张】

是你长辈,同姓,有血缘关系的人是父子关系 【命题】

对面那个人是你父亲 【结论】

为什么说逻辑命题是函数的本质

1,函数是一种关系,是几种变量与结果的关系,函数是一种简化的关系表达式,可以用函数英文单词function的第一个字母表示,例如,函数的标记是f(),有时干脆简化为f。

f(x)叫一元或一维函数,f(x,y)叫二元或二维函数,f(r,θ)=re^iθ叫复变函数。f(g())叫复合函数或泛函=函数的函数(functional(function))。M(z)叫莫比乌斯函数。f(x)=limsinx/x叫极限函数,f(sinx,cosx)叫傅里叶函数,f(dx)叫微分函数,f(a,b)=ʃf(x)dx,叫定积分函数。

对现象或效应的变量关系,用物理逻辑解释清楚,设定变量符号与量纲,指出引用函数的出处,通过严密的数学推导,最终给出函数关系式,这是科研人起码的基本功。

函数关系表达式,简称函数式,也叫解析式、公式、方程。英文equation本意是对等方式。理解函数式的物理意义有时是很难的。

2,假如f相当于结论,x.y,r,θ,sinx,cosx也就相当于主张因素

1,如果我们用F代表例1中逻辑的结论电脑,用X表示鼠标,Y表示显示器,J表示健盘,Q表示电源线,那么,例1,可以用函数f(x,y,j,Q)表示,也是可行的,只不过一个用语言描述,一个用字母替代。逻辑关系是一样的。同理,例2,可以用x代表姓,有Y代表血缘,用J代表辈份 。例2 是不是也可以用函数f(x,y.j)表示呢答案是可以的。

3,实际上,函数就是某一结论是由哪些因素或者变量构成的。当变量表示的值不同的时候,那么,结论就不同。

结论

综上所述,函数的本质就是逻辑命题,只是它们的表达方式不一样,一个用语言来描述,一个用字母来替代。但归根结底,函数就是一种结果与变量之间的关系,不管这种关系多复杂。是一元,二元,还是多元函数。都不影响这种逻辑命题关系。

另,

现在给你一个逻辑命题,具备管理能力,你的个人价值和职场回报至少涨10倍,你想求证这个函数吗？关注我们的"快速逆袭,收入涨10倍的管理能力"圈子,圈里有答案。

由网友 南山幽 提供的答案：

函数的本质,就是对应关系。

更广泛的对应关系,称为映射。映射分为单射、满射,及合而为一的双射,也称一一对应。

函数,作为映射的特例,是数与数的对应关系；映射,不必拘泥于数！

函数,很多分类,林林总总,无法归总。

按性质分,有单调函数,凹凸函数,奇偶函数,周期函数,可导函数,可积函数,正则函数,…；

按变量分,有实变函数,复变函数,泛函,…；

按人名分,黎曼函数,柯西函数,狄里克雷函数。

高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。

没有函数,就没有现代数学！

由网友 数学漫谈 提供的答案：

不请自来,我是数学漫谈——专注数学教育,传播数学文化,下面谈谈我的认识。

函数是我们接触很早的一个概念,初中阶段我们开始接触函数的概念,从一次函数到反比例函数再到二次函数,到了高中阶段我们学习指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数。可以说在中学阶段我们一直在和函数打交道。

大学阶段的高等数学或数学分析,研究对象就是函数,还有复变函数、实变函数、泛函分析等等。总之一句话如果你一直学习数学的话,你会发现函数是陪伴你最长的概念。

那到底函数的本质是什么？其实函数的概念并非生来就有,也并非一成不变的,对于函数的本质,不同的历史阶段有不同的认知。人们对函数的认知从最早的变量说、发展为对应说,再到后来的关系说,最后推广到集合范畴。

变量说阶段

古罗马数学家丢番图在《算术》中引入了变量的概念,这是函数概念的萌芽。

函数概念的真正发展是16世纪以后,尤其是微积分的创立,极大的促进了函数概念的产生、发展和完善。

17世纪伽利略的著作《两门新科学》中包含了变量或函数的概念,不过他是用文字和比例的语言来表达的,没有明确的提到函数的概念。

在此之后,解析几何之父——笛卡尔在研究中发现了两个变量之间存在相互依赖的关系,最先提出了"变量"的概念。

1665年,牛顿提出了"流数术",他用"流量"一词描述变量之间的依赖关系。

1673年,数学符号大师——莱布尼茨首次提出了"函数"这一术语,用函数描述随着曲线上的点变化的量。不过最早英文中的"function"并不解释为函数的意思,而是"功能",除此之外,他还引进了"变量"、"常量"、"参变量"等概念,这些名词一直沿用至今。

以上都是在几何范围内给出的变量之间的依存关系,牛顿和莱布尼茨虽然创立了微积分,但没有给出函数的解析定义。17世纪末以前,人们还没有从普遍意义上认识到函数的本质。

对应说阶段

微积分的创立极大的促进了函数概念的发展,在前人的基础上,1718年,约翰.贝努利对函数概念进行了明确定义,把常数和变量x按任何方式构成的量称为"x的函数"。

18世纪中叶,欧拉给出了函数的符号f(x),并提出了函数的解析表达式,他认为："一个变量的函数是由这个变量和常数以任意方式组成的解析表达式",他还规定了函数在给定的函数的"定义域"内由同一个解析表达式来表示,这标志着函数概念由几何形态转向代数形态。这和我们初等函数的概念已经很接近了。

关系说阶段

函数的概念还在不断的完善和发展,1800年前后,数学分析的严密化对函数概念提出了更高的要求。

1822年,傅里叶发现有些函数可以用曲线表示,也可用一个式子或多个式子来表示,他的发现推动了函数概念又一次发展,结束了函数概念是否用唯一式子表示的争论。

1823年,柯西从定义变量角度给出了函数的概念,并给出了变量和自变量的定义,他认为无穷级数是定义函数的有效方法,但函数不一定有解析表达式。

1837年,狄利克雷给出了函数的定义："若多x的每一个值,有晚去确定的y 值与之对应,则不管对应方式如何,都成为y对x的函数"。狄利克雷给出的函数定义已经和我们现在教科书中的定义很吻合了。

集合论下的函数

康托尔创立了集合论,人们把函数的定义域由数推广到集合上。

1887年,戴德金给出了系统S上的一个映射蕴含了一个规则,依此规则,S中的每一个元素都对应着一个确定的对象,S称为映像。这是函数概念的扩充。

随后,维布伦用"集合"和"对应"的概念给出了近代函数定义：

"若在变量y的集合与另一个变量x的集合之间,有这样关系成立,即对x的每一个值,有完全确定的y值与之对应,则称变量y是变量x的函数。"

他把函数的定义域、值域及对应法则进一步具体化。

1939年法国的布尔巴基学派给出完善的现代函数的定义：

"设Ｅ和Ｆ是两个集合,它们可以不同也可以相同。Ｅ中的一个变元x和Ｆ中的变元y之间的一个关系称为一个函数,如果每一个x∈Ｅ,都存在唯一的y ∈Ｆ,它满足x的给定关系。"

结语

结合以上函数概念发展的历程,我们不难看出,随着科学的不断进步,函数的概念也在不断完善,目前中学和高等数学上的函数是基于实数范围内的,可以理解为：对于任意一个非空集合的自变量x,通过对应法则f,都能找到唯一确定的y与之对应,那么y是关于x的函数。但除了实数范围内的函数,我们还有复变函数（复数范围内的）、实变函数、泛函分析、点集拓扑等和函数有关的学科。

由网友 飞翔的山竽 提供的答案：

虽然初中才引入函数的概念,但其实小学数学很多内容,就已经包括函数内容,举个简单的例子,小明今年10岁,小红今年12岁,当小明14岁的时候,小红多少岁,这其实就是一个函数关系,小明的年龄是变量,而小红的年龄就是结果,两者之间的逻辑关系核心就是小红比小明大两岁,这是典型的一次函数,即y=x+b,根据小明10岁,小红12岁,求出b=2,然后这个式子就是y=x+2。

函数的运用,不仅限于数学学了本身,也是物理、化学等理科的基础思维,比如物理中的运动、能量动量守恒、热力学定律、哦欧姆定律等计算,都是运用变量和函数关系求结果。

我们生活中,财富根据你上班天数发工资,也是根据你出勤天数,加班天数等变量,基本工资、社保、加班工资、迟到罚款等都是变化条件,并通过一定的关系结算出最终工资。